User:Asys

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PROBLEMA 1
A) Considere la señal $x[n] = \delta (n) + 3\delta (n-1) + \delta (n-2)$

a1) ¿Es una señal simétrica?

Solución:

La señal discreta $x[n]$ no es simétrica, se trata de una señal impar, ya que a la izquierda del eje de ordenadas no tenemos lo mismo que a la derecha del eje de ordenadas. Como tenemos la señal centrada en $n=1$ no es simética respecto al origen, es una señal desplazada de una señal real y par.

Se cumple que $x[n] \neq x[-n]$ $\forall n$  $\Rightarrow$  no simétrica.

a2) Calcule su energía y su potencia.

Solución:

La señal discreta $x[n]$ es aperiódica, es decir, tiene duración finita, por tanto se trata de una señal definida en energía, con un valor de energía finito y potencia con valor 0.

$\clubsuit$ Calculamos la energía: $E_{x} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]|^{2} \Rightarrow$  Energía de una secuencia.

$$\begin{array}{lcll} E_{x} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]|^{2} = 1^{2} + 3^{2} + 1^{2} = 11 J       \end{array}$$

$\clubsuit$ Calculamos la potencia: $P_{x} = \lim_{k \to \infty} \frac{1}{2k +1} \sum_{n=-k}^{k} |x[n]|^{2} \Rightarrow$  Potencia de una secuencia aperiódica.

Si definimos la energía de una secuencia en un intervalo finito $-k \leq n \leq k$ siendo $k = 0,...,2$  tenemos:

$$\begin{array}{lcll} P_{x} = \lim_{k \to \infty} \frac{1}{2k +1} E_{x,k} = \lim_{k \to \infty} \frac{1}{2k +1} \sum_{n=-k}^{2} |x[n]|^{2} = \lim_{k \to \infty} \frac{11}{2k +1} \approx 0 \end{array}$$

Queda demostrado que la energía de una señal finita es finita y su potencia es 0.

a3) Calcule su TF y dibújela.

Solución:

Calculamos la TF de $x[n] = \delta (n) + 3\delta (n-1) + \delta (n-2)$.

Aplicamos la ecuacíon de análisis $\Rightarrow X(e^{j\Omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\Omega n}$

$$\begin{array}{lcll} TF x[n] = X(e^{j\Omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\Omega n} & = & 1e^{-j\Omega 0} + 3e^{-j\Omega 1} +1e^{-j\Omega 2} &\\ & = & 1 + 3e^{-j\Omega} + 1e^{-j\Omega 2} &\\ \end{array}$$

Como tenemos una señal compleja, la dibujamos en módulo y fase:





$\clubsuit$ La transformada de Fourier de $x[n]$  es una señal compleja. La TF de una señal real no siempre es real, como en nuestro caso por ejemplo, $\delta (n-n_{0})$ es real y sin embargo su TF $e^{-j\Omega_{0}}$  es compleja.

a4) Calcule su energía y su potencia a través de la TF.

Solución:

Podemos aplicar la relación de Parseval, considerando que el módulo de la transformada al cuadrado está formado por un conjunto de exponenciales complejas con base ortogonal, es decir, sus fasores son ortogonales. Si tenemos dos exponenciales su producto escalar será igual a 0. Como tenemos una señal aperiódica, podemos aplicar la relación de Parseval para señales aperiódicas. Ecuación de Parseval $\Rightarrow \sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]|^{2} = \frac{1}{2\pi} \int_{2 \pi} |X(e^{j\Omega})|^{2} \cdot d\Omega$

$$\begin{array}{lcll} E = \frac{1}{2\pi} \cdot \int_{0}^{2 \pi} |X(e^{j\Omega})|^{2} \cdot d\Omega & = & \frac{1}{2\pi} \cdot \int_{0}^{2 \pi} 1^{2} d\Omega + \int_{0}^{2 \pi} 3^{2} d\Omega + \int_{0}^{2 \pi} 1^{2} d\Omega &\\ & = & \frac{1}{2\pi} \cdot 1 \cdot 2\pi + \frac{1}{2\pi} \cdot 9 \cdot 2\pi + \frac{1}{2\pi} \cdot 1 \cdot 2\pi &\\ & = & 1 + 9 + 1 = 11 J       \end{array}$$

$\clubsuit$ Se cumple la relación de Parseval $\Rightarrow$  La energía en el dominio de la frecuencia es igual que en el dominio del tiempo.

$\clubsuit$ Como es una secuencia finita, y está definida en energía la $P_{x} = 0$.

B) Dicha señal se utiliza para convolucionarla con $z[n] = 2 \cdot \cos (\frac{\pi n}{2})$

b1) Calcule y[n] = x[n]*z[n] mediante una convolución.

Solución:

Calculamos $y[n]$ analíticamente:

$\clubsuit$ Tenemos $x[n] = \delta (n) + 3\delta (n-1) + \delta (n-2)$

$\clubsuit$ Tenemos: $z[n] = 2 \cdot \cos (\frac{\pi n}{2})$  $$\begin{array}{lcll} z[n] = 2 \cdot \cos (\frac{\pi n}{2}) = 2 \cdot \frac{e^{\frac{j\pi n}{2}} + e^{\frac{-j\pi n}{2}}}{2} = e^{\frac{j\pi n}{2}} + e^{\frac{-j\pi n}{2}} \end{array}$$

$$\begin{array}{lcll} y[n] = x[n]*z[n] & = & \delta (n)* 2\cos (\frac{\pi n}{2}) + 3\delta (n - 1)* 2\cos (\frac{\pi n}{2}) + \delta (n - 2)* 2\cos (\frac{\pi n}{2}) &\\ & = & 2\cos (\frac{\pi n}{2}) + 6\cos (\frac{\pi (n - 1)}{2}) + 2\cos (\frac{\pi (n - 2)}{2}) &\\ & = & e^{\frac{j\pi n}{2}} + e^{\frac{-j\pi n}{2}} + 3 \cdot e^{\frac{j\pi (n - 1)}{2}} + 3 \cdot e^{\frac{-j\pi (n - 1)}{2}} + e^{\frac{j\pi (n - 2)}{2}} + e^{\frac{-j\pi (n - 2)}{2}} &\\ & = & (1 + 3 \cdot e^{\frac{-j\pi}{2}} + e^{-j\pi}) \cdot e^{\frac{j\pi n}{2}} + (1 + 3 \cdot e^{\frac{j\pi}{2}} + e^{j\pi}) \cdot e^{\frac{-j\pi n}{2}} &\\ \end{array}$$

b2) Calcule y[n] = x[n]*z[n] en el dominio de la frecuencia.

Solución:

$$\begin{array}{lcll} y[n] = x[n]*z[n] \Rightarrow Y(e^{j\Omega}) = X(e^{j\Omega}) \cdot Z(e^{j\Omega}) \end{array}$$

$$\begin{array}{lcll} & = & (1 -3j -1) \cdot 2\pi \delta (\Omega - \frac{\pi}{2}) + (1 + 3j -1) \cdot 2\pi \delta (\Omega + \frac{\pi}{2}) &\\ & = & -6j \pi \delta (\Omega - \frac{\pi}{2}) + 6j \pi \delta (\Omega + \frac{\pi}{2}) \end{array}$$

$\clubsuit$ Una delta de Dirac en el dominio del tiempo, es una delta de Kronecker en frecuencia.

b3) Compare b1) y b2) y discuta los resultados. Dibuje en el dominio del tiempo x[n], y[n] y z[n].

Solución:

$\clubsuit$ En b1) tenemos la señal $y[n]$  en el dominio del tiempo, que es la suma de cosenos desplazadas en n.

$\clubsuit$ En b2) tenemos un seno que son dos deltas de Kronecker en frecuencia, como consecuencia de la TF de una suma de exponenciales. Las deltas de Kronecker están centradas en $\frac{\pi}{2}, \frac{-\pi}{2}, 0$

Como $z[n]$ y $y[n]$  son dos señales periódicas las dibujamos en el intervalo $[-5:5]$ :



C) Repita los apartados a1)-a4) para la señal $x[n] = \delta (n) + 3\delta (n-1) + 3\delta (n-2)$

c1) ¿Es una señal simétrica?

Solución:

Como la señal no viene de una señal simétrica desplazada, no podemos saber si es simétrica o no, lo único que podemos decir de ella es que es una señal real.

c2) Calcule su energía y su potencia.

Solución:

La señal discreta $x[n]$ es aperiódica, es decir, tiene duración finita, por tanto se trata de una señal definida en energía, con un valor de energía finito y potencia con valor 0.

$\clubsuit$ Calculamos la energía: $E_{x} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]|^{2} \Rightarrow$  Energía de una secuencia.

$$\begin{array}{lcll} E_{x} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]|^{2} = 1^{2} + 3^{2} + 3^{2} = 19 J       \end{array}$$

$\clubsuit$ Calculamos la potencia: $P_{x} = \lim_{k \to \infty} \frac{1}{2k +1} \sum_{n=-k}^{k} |x[n]|^{2} \Rightarrow$  Potencia de una secuencia aperiódica.

Si definimos la energía de una secuencia en un intervalo finito $-k \leq n \leq k$ siendo $k = 0,...,2$  tenemos:

$$\begin{array}{lcll} P_{x} = \lim_{k \to \infty} \frac{1}{2k +1} E_{x,k} = \lim_{k \to \infty} \frac{1}{2k +1} \sum_{n=-k}^{2} |x[n]|^{2} = \lim_{k \to \infty} \frac{19}{2k +1} \approx 0 \end{array}$$

Queda demostrado que la energía de una señal finita es finita y su potencia es 0.

c3) Calcule su TF y dibújela.

Solución:

Calculamos la TF de $x[n] = \delta (n) + 3\delta (n-1) + 3\delta (n-2)$.

Aplicamos la ecuaciíon de análisis $\Rightarrow X(e^{j\Omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\Omega n}$

$$\begin{array}{lcll} TF x[n] = X(e^{j\Omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\Omega n} & = & 1e^{-j\Omega 0} + 3e^{-j\Omega 1} +1e^{-j\Omega 2} &\\ & = & 1 + 3e^{-j\Omega} + 3e^{-j\Omega 2} &\\ \end{array}$$

Como tenemos una señal compleja, la dibujamos en módulo y fase: